To jest powtórka. Nie skupiam się na sprawach podstawowych, a wybrałem tylko te kwestie, które zwykle sprawiają uczniom problem.
Żeby dobrze napisać egzamin trzeba mieć wyćwiczone podstawowe umiejętnośći, a przede wszystkim sprawnie liczyć, kojarzyć liczby i umieć samodzielnie znależć błąd w obliczeniach i je poprawić.
Możenie to skrócony zapis dodawania. Zamiast pisać $2+2+2+2+2$ możemy napisać $5*2$ i to jest to samo, $2+2+2+2=5*2$
Tę własność można wykorzystać przy obliczeniach bardziej skomplikowanych działań. Na przykład $3*12=3*(10+2)=30+6$, a takie działanie już łatwo wykonać w pamięci. Warto tą metodą sprawdzać też kłopotliwe mnożenia, które prawie wszystkim się mylą, czyli $8*7=56$ czy $54$? $$8*7=8*(\color{green}{8}-\color{blue}{1})=\color{green}{64}-\color{blue}{8}=56$$
Najwięcej problemów i błędów powodują obliczenia na liczbach ujemnych. Odejmowanie liczby ujemnej i dodatniej, odejmowanie dwóch liczb ujemnych. Podstawowa kwestia to zmiana znaku.
Na przykład $$15-7=8$$, $$7-15=-8$$, ale $$-7\color{red}{-}(\color{red}{-}15)=-7\color{red}{+}15=8$$ (zmiana znaku - dwa minusy dają plus)
Do wizualizacji tych działań polecam używanie osi liczbowej, pojęcie liczby ujemnej uczniowie lubią utożsamiać z długiem.
To jedno z najłatwiejszych działań, które można wykonać również w pamięci. W przypadku liczb naturalnych przy mnożeniu przez 10, 100, 1000, itp. dopisujemy na końcu liczby tyle zer ile ma liczba przez którą mnożymy. Przykład: $$1\color{red}{0}*14=14\color{red}{0}$$, $$124* 1000=124000$$Sprawa nieco się komplikuje, gdy mnożymy liczby z miejscami po przecinku. W tej sytuacji najpierw przesuwamy przecinek w prawo. W momencie, gdy w wyniku tego działania otrzymamy liczbę naturalną dopisujemy pozostałą do uzupełnienia liczbę zer: $54,89*1\color{red}{00}\color{blue}{00}=54\color{blue}{89}\color{red}{00}$ (dwa zera zużyliśmy na przesunięcie przecinka, pozostałe dwa zostały dopisane do tak powstełj liczby.
Dzielenie przez 10 i jego potęgi (100, 1000, 10000, itp.) wykonujemy analogicznie jak mnożenie, przy czym kierunek przesuwania przecinka odbywa się w lewo
Gdy mnożymy liczbę bez miejsc po przecinku dla ułatwienia możemy ją potraktować tak, jakby przecinek był na jej końcu:$$178=178\color{red}{,}$$ Wtedy przesuwanie przecinka jest naturalne, bo zawsze jest widoczny.
Na przykład $456762:100=4567,62$. Przecinek przesuwamy o dwa miejsca w lewo. Inny przykład: $479\color{red}{,}782:1000=0\color{red}{,}479782$
Ułamek zwykły to liczba postaci $$\frac{a}{b}$$ gdzie $a$ to licznik ułamka, $b$ mianownik ułamka, a kreska pomiędzy liczbami a i b to kreska ułamkowa. Zapis ten jest równoważny $\frac{a}{b}=a:b$
Dodawanie ułamków zwykłych wymaga sprowadzenia ich do wspólnego mianownika. Liczba postaci $\frac{a}{b}$, to właśnie ułamek zwykły, gdzie liczba $a$ to licznik tego ułamka, liczba $b$ to jego mianownik. Żeby dodać dwa ułamki $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$ ich mianowniki muszą być równe. Sprowadzanie do wspólnego mianownika wymaga umiejętności rozkładania liczby na czynniki pierwsze, znjdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności oraz rozszerzania ułamka.
Po znalezieniu wspólnego mianownika sumę otrzymujemy dodając liczniki tak przekształconych ułamków, a w mianowniku wpisujemy znaleziony wspólny mianownik.
Przykład. Znajdż najmniejszą wspólną wielokrotność (NWW) liczb $6$ i $8$ $$6=\color{red}{2}*\color{red}{3}$$ $$8=\color{red}{2}*\color{green}{2}*\color{green}{2}$$ $$NWW(6,8)=\color{red}{2}*\color{red}{3}*\color{green}{2}*\color{green}{2}$$
Przykład. Rozszerz ułamek $\frac{5}{7}$ do ułamka z mianownikeim 35
$\frac{5}{7}=\frac{\color{red}{5}*5}{\color{red}{5}*7}=\frac{25}{35}$
Przykład. Dodaj $\frac{4}{15}+\frac{2}{3}$
$$\frac{4}{15}+\frac{2}{3}=\frac{4}{15}+\frac{\color{red}{5}*2}{\color{red}{5}*3}=\frac{4}{15}+\frac{10}{15}=\frac{4+10}{15}=\frac{14}{15}$$
Odejmowanie ułamków odbywa się analogicznie jak dodawnie. Podstawową czynnością jest sprowadzenie do wspólnego mianownika
Wykonaj odejmowanie: $\frac{15}{98}-\frac{7}{48}$
Zaczynamy od znalezienia wspólnego mianownika. Zeby tego dokonać musimy rozłożyć mianowniki podanych ułamków na czynniki pierwsze $$98=2*49=\color{red}{2}*7*7$$ $$48=6*8=\color{red}{2}*3*2*2*2$$ $$NWW(98,48)=7*7*2*3*2*2*2=2352$$ $$\frac{15}{98}-\frac{7}{48}=\frac{15*2*2*2*3}{98*2*2*2*3}-\frac{7*7*7}{48*7*7}=\frac{360}{2352}-\frac{343}{2352}=\frac{360-343}{2352}=\frac{17}{2352}$$
Monożenie ułamków polega na mnożeniu liczników i mianowników $$\frac{a}{b}*\frac{c}{d}=\frac{a*c}{b*d}$$
$$\frac{2}{7}*\frac{3}{8}=\frac{2*3}{7*8}=\frac{\color{red}{2}*3}{7*\color{red}{2}*2*2}=\frac{3}{28}$$
Przy mnożeniu ułamków przed podaniem ostatecznego wyniku należy pamietać o skróceniu ułamka czyli wyłączeniu wspólnego czynnika z licznika i mianownika. W naszym przykładzie wspólnym czynnikiem jest zapiasana na czerwono liczba 2.
O tym się zapomina, a czasem może się przydać - każdą liczbę całkowitą można zapisać w postaci ułamka niewłaściwego postaci: $a=\frac{a}{1}$
Dzielenie ułamków polega na mnożeniu dzielnej przez odwrotność dzielnika $$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}*\frac{d}{c}=\frac{a*d}{b*c}$$
$$\frac{4}{9}:\color{red}{\frac{3}{20}}=\frac{4}{9}*\color{red}{\frac{20}{3}}=\frac{4*20}{9*3}=\frac{80}{27}=2\frac{26}{27}$$
Serce zaczyna żywiej bić na widok ułamka piętrowego. Zachowaj spokój i przekształć go w ułamek zwykły
$$\frac{\frac{2}{7}}{\frac{5}{14}}=\frac{2}{7}:\frac{5}{14}=\frac{2}{7}*\frac{14}{5}=\frac{2*14}{7*5}=\frac{2*2*\color{red}{7}}{\color{red}{7}*5}=\frac{2*2}{5}=\frac{4}{5}$$