Dowody twierdzeń matematycznych na maturę

Pomysł, żeby wprowadzić dowody twierdzeń do zadań maturalnych jest dobry, bo ten typ zadań uczy logicznego myślenia, które przyda się każdemu bez względu na kierunek dalszej edukacji

fragment dotyczący dowodów z ROZPORZĄDZENIE MINISTRA EDUKACJI1) z dnia 28 czerwca 2024 r. zmieniające rozporządzenie w sprawie podstawy programowej kształcenia ogólnego dla liceum ogólnokształcącego, technikum oraz branżowej szkoły II stopnia

(...)

16. Dowody. Samodzielne przeprowadzanie dowodów przez uczniów rozwija takie umiejętności, jak: logiczne myślenie, precyzyjne wyrażanie myśli i zdolność rozwiązywania złożonych problemów. Dowodzenie pozwala doskonalić umiejętność dobierania trafnych argumentów i konstruowania poprawnych rozumowań. Jedną z metod rozwijania umiejętności dowodzenia jest analizowanie dowodów poznawanych twierdzeń. Można uczyć w ten sposób, jak powinien wyglądać właściwie przeprowadzony dowód. Umiejętność formułowania poprawnych rozumowań i uzasadnień jest ważna również poza matematyką. Na poziomie rozszerzonym język matematyczny powinien osiągnąć wyższy stopień sformalizowania. Uczeń powinien poznać dowody następujących twierdzeń.

Twierdzenia, dowody – zakres podstawowy: 

1. Istnienie nieskończenie wielu liczb pierwszych; 
2. Niewymierność liczb:$\sqrt2$ , $\log_2 {5}$  itp.;  
3. Wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego;
4. Podstawowe własności potęg (o wykładnikach całkowitych i wymiernych) i logarytmów;
5. Wzory na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego;
6. Twierdzenie o kątach w okręgu:
   1. a) kąt wpisany jest połową kąta środkowego opartego na tym samym łuku,
   2. b) jeżeli dwa kąty są wpisane w ten sam okrąg, to są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są oparte na równych łukach
7. Twierdzenie o odcinkach w trójkącie prostokątnym. Jeśli odcinek CD jest wysokością trójkąta prostokątnego ABC o kącie prostym ACB, to $|AD|⋅|BD| = |CD|^2$, $|AC|^2 = |AB| ⋅ |AD|$ oraz $|BC|^2 = |AB| ⋅ |BD|$; 
8. Twierdzenie o dwusiecznej. Jeśli prosta CD jest dwusieczną kąta ACB w trójkącie ABC i punkt D leży na boku AB, to $\frac{|AD|} {|BD|}=\frac{|AC|} {|BC|}$
9. Wzór na pole trójkąta $P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma$;  
10. Twierdzenie cosinusów i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.

 

Twierdzenia, dowody – zakres rozszerzony:

1) 2) Dowód kombinatoryczny tożsamości: jeśli 0 < 𝑘𝑘 < 𝑛𝑛, to (𝑛𝑛 𝑘𝑘) = (𝑛𝑛−1 𝑘 𝑘−1) +(𝑛𝑛−1 𝑘 𝑘 ); Wzór dwumianowy Newtona. Wzory skróconego mnożenia na 𝑎𝑎𝑛𝑛 ±𝑏𝑏𝑛𝑛 (przy odpowiednich założeniach o n) oraz jako wniosek: dla liczb całkowitych a i b, (𝑎𝑎 −𝑏𝑏)|(𝑎𝑎𝑛𝑛 −𝑏𝑏𝑛𝑛); 3) 4) Twierdzenie o dzieleniu z resztą wielomianu przez dwumian postaci 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 wraz ze wzorami rekurencyjnymi na współczynniki ilorazu i resztę (algorytm Hornera) – dowód można przeprowadzić w szczególnym przypadku, np. dla wielomianu czwartego stopnia. Wzory Viète’a; 

5) 6) 7) 8) 9) Wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów; Twierdzenie sinusów; Twierdzenia o istnieniu niektórych punktów szczególnych trójkąta: a) symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie i (jako wniosek) proste zawierające wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie, b) środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie; Twierdzenie o czworokącie wpisanym w okrąg. Czworokąt wypukły ABCD można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy |∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵|+|∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵| = |∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵|+|∠𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵| = 180°; Twierdzenie o czworokącie opisanym na okręgu. W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy |𝐵𝐵𝐵𝐵| + |𝐵𝐵𝐵𝐵| = |𝐵𝐵𝐵𝐵| + |𝐵𝐵𝐵𝐵|; 10) Twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny. Dane są proste k, l i m leżące na jednej płaszczyźnie. Jeśli proste k i l mają dokładnie jeden punkt wspólny i prosta n jest do nich prostopadła, to prosta n jest także prostopadła do prostej m; 11) Twierdzenie o trzech prostopadłych. Prosta k przecina płaszczyznę P i nie jest do niej prostopadła. Prosta l jest rzutem prostokątnym prostej k na płaszczyznę P. Prosta m leży na płaszczyźnie P. Wówczas proste k i m są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy proste l i m są prostopadłe.